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Thèse

Algèbres amassées associées aux variétés de Richardson ouvertes : un algorithme de calcul de graines initiales

Résumé : Les algèbres amassées sont des anneaux commutatifs intègres avec une structure combinatoire particulière.Cette structure consiste en la donnée d’une famille de graines, liées entre elles par une opération appelée mutation.Chaque graine est composée de deux parties : un amas et un carquois.Les variétés de Richardson ouvertes sont des strates de la variété de drapeaux associée à un groupe linéairealgébrique de type simplement lacé. Elles sont l’intersection de cellules de Schubert respectivement à deux sous-groupes de Borel opposés. Dans [Lec16], une sous-algèbre amassée de rang maximal sur l’anneau de coordonnéesd’une variété de Richardson ouverte a été construite et cette sous-algèbre est conjecturée être égale à l’anneauentier. La construction de cette algèbre amassée provient d’une catégorie de Frobenius C v,w de modules surl’algèbre préprojective, définie comme intersection de deux catégories C w et C v déjà étudiées par Geiss, Leclerc,Schröer et Buan, Iyama, Reiten et Scott. Le lien entre les algèbres amassées et les structures amassées est donnépar le caractère d’amas défini dans [GLS06].Dans cette thèse, nous construisons un algorithme qui, étant donné les paramètres définissant une variété deRichardson ouverte, construit un module rigide maximal explicite de la catégorie de Frobenius associée et soncarquois. Cet algorithme a pour donnée de départ la graine initiale pour la structure amassée sur C w définiepar un représentant w d’un élément w du groupe de Weyl. Par le biais d’une suite de mutations déterminéecombinatoirement, on obtient à partir de la graine initiale un module rigide maximal de C w qui, à suppressionde certains facteurs directs près, est un module rigide maximal de C v,w . De plus le sous-carquois du carquoismuté est exactement le carquois de l’algèbre d’endomorphisme du module rigide maximal de C v,w donnant alorsla description complète d’une graine initiale pour la structure amassée de C v,w .
Type de document :
Thèse
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Contributeur : Abes Star :  Contact
Soumis le : vendredi 11 juin 2021 - 11:13:11
Dernière modification le : vendredi 11 juin 2021 - 11:29:08

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  • HAL Id : tel-03213985, version 1

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Etienne Menard. Algèbres amassées associées aux variétés de Richardson ouvertes : un algorithme de calcul de graines initiales. Algèbre commutative [math.AC]. Normandie Université, 2021. Français. ⟨NNT : 2021NORMC211⟩. ⟨tel-03213985⟩

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