Logarithms of rational points of abelian varieties

Logarithmes des points rationnels des variétés abéliennes

Vincent Bosser (1) , Eric Gaudron (2)

1 LMNO - Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme
2 LMBP - Laboratoire de Mathématiques Blaise Pascal

Let u be a logarithm of an algebraic point p of an abelian variety defined over a number field. Let Au be the smallest abelian subvariety whose tangent space at the origin contains u. We give a bound for the geometrical degree of Au which generalizes the famous period theorem by Masser and Wüstholz. From this statement, we also deduce some lower bounds for the norm of u and for the Néron-Tate height of p. The main new feature of these results is that the bounds are fully explicit in terms of the classical invariants of the problem, among which the dimension and the Faltings height of the abelian variety. The proofs rest on tools from Gel'fond-Baker theory of linear forms in logarithms and from Arakelov slope theory.

Nous démontrons une généralisation du théorème des périodes de Masser et Wüstholz où la période est remplacée par un logarithme non nul u d'un point rationnel p d'une variété abélienne définie sur un corps de nombres. Nous en déduisons des minorations explicites de la norme de u et de la hauteur de Néron-Tate de p qui dépendent des invariants classiques du problème dont la dimension et la hauteur de Faltings de la variété abélienne. Les démonstrations reposent sur une construction de transcendance du type Gel'fond-Baker de la théorie des formes linéaires de logarithmes dans laquelle se greffent des formules explicites provenant de la théorie des pentes d'Arakelov.

Mots clés: Théorème des périodes; variété abélienne; logarithme; méthode de Gel’fond-Baker; théorie des pentes; hauteur de Néron-Tate; lemme d’interpolation.

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Vincent Bosser, Eric Gaudron. Logarithmes des points rationnels des variétés abéliennes. Canadian Journal of Mathematics, 2019, 71 (2), pp.247-298. ⟨10.4153/CJM-2018-005-7⟩. ⟨hal-02172182⟩