Weak type inequalities in noncommutative Lp-spaces

Inégalités de type faible dans les espaces Lp non-commutatifs

Léonard Cadilhac (1)

1 LMNO - Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme

The purpose of this thesis is to develop tools of noncommutative harmonic analysis. More precisely, it deals with noncommutative Khintchine inequalities and operator-valued singular integrals. The first part is dedicated to questions of interpolation between classical Lp-spaces. We generalize and state new characterisations of interpolation spaces between Lp-spaces. In a second part, we introduce a form of the noncommutative Khintchine inequalities which holds in every interpolation space between two Lp-spaces. It enables us to unify the cases p < 2 and p > 2 and to deal with weak Lp-spaces even when p = 1 or 2. By relying on the first part, we characterize spaces in which the usual formulas for Khintchine inequalities hold. In a last part, we give a simplified proof of the weak boundedness of noncommutative singular integrals, a result previously obtained by Parcet. This simplification allows us to recover quickly two results: the Lp pseudolocalisation and the weak type inequality for noncommutative singular integrals associated to Hilbert-valued kernels.

Cette thèse vise à développer des outils d'analyse harmonique non-commutative. Elle porte plus précisément sur les inégalités de Khintchine non-commutatives et les intégrales singulières à valeurs opérateur. La première partie est dédiée à des questions d'interpolation des espaces Lp classiques. On généralise et on énonce de nouvelles caractérisations des espaces interpolés entre espaces Lp. Dans une seconde partie, on démontre une forme des inégalités de Khintchine non-commutatives valides dans tous les espaces interpolés entre espace Lp. Celle-ci permet d’unifier les cas p < 2 et p > 2 ainsi que de traiter les espaces Lp faibles, même pour p = 1 ou 2. En s'appuyant sur la première partie, on caractérise les espaces dans lesquels les formules usuelles pour les inégalités de Khintchine sont valides. Dans une dernière partie, on donne une preuve simplifiée de l'inégalité de type (1,1) faible pour les intégrales singulières non-commutatives, un résultat précédemment obtenu par Parcet. Cette simplification nous permet de retrouver rapidement deux autres résultats connus : la pseudolocalisation Lp et l’inégalité de type faible pour les intégrales singulières non-commutatives dont le noyau est à valeurs dans un espace de Hilbert.

Mots clés: Noncommutative Khintchine inequalities; Singular integrals

Mots clés: Inégalités de Khintchine non-commutatives

Domaines: Géométrie algébrique [math.AG]

Léonard Cadilhac. Weak type inequalities in noncommutative Lp-spaces. Algebraic Geometry [math.AG]. Normandie Université, 2019. English. ⟨NNT : 2019NORMC213⟩. ⟨tel-02356115⟩