Etudes qualitatives et quantitatives de modèles paramétriques. De la théorie à la pratique avec un exemple en sciences humaines. - Laboratoire de Mathématiques Appliquées du Havre Accéder directement au contenu
Hdr Année : 2022

Qualitative and quantitative studies of parametric models. From theory to practice with an example in the humanities and social sciences.

Etudes qualitatives et quantitatives de modèles paramétriques. De la théorie à la pratique avec un exemple en sciences humaines.

Résumé

Ce mémoire regroupe les différentes recherches que j'ai menées depuis ma thèse en 2005. Mes travaux se sont concentrés sur des études qualitatives et quantitatives de modèles paramétriques, que ce soit l'identifiabilité, la diagnosticabilité, la synchronisation dans les réseaux. Une partie de ces études a été appliquée à la modélisation des comportements humains en situation de catastrophe. Le deuxième chapitre présente plusieurs de mes résultats sur l'identifiabilité. Après une introduction sur la problématique des modèles identifiables (ou non), je présente une première généralisation de cette notion : l'identifiabilité relative. Celle-ci étudie l'identifiabilité de certains paramètres par rapport à d'autres. Cette propriété permet de connaître les paramètres clés à déterminer pour obtenir l'identifiabilité de paramètres plus difficiles à estimer voire l'identifiabilité de tout le système. Le résultat est certifié grâce aux outils semi-algébriques. Je montre ensuite comment l’identifiabilité et la méthode associée basée sur l’algèbre différentielle ont été généralisées aux systèmes non linéaires à incertitudes bornées puis aux équations aux dérivées partielles. Dans chacun de ces cadres, ces travaux théoriques ont été complétés par l'étude et le développement de méthodes numériques pour estimer les paramètres. Le troisième chapitre aborde le problème du diagnostic et de son étude. Pour cela deux signatures, l'une fonctionnelle et l'autre algébrique, ont été introduites dans le cadre de modèles dynamiques paramétrés non linéaires avec fautes. Contrairement aux définitions classiques de signatures, leur étude met en évidence certaines propriétés fonctionnelles et analytiques liées à la faute agissant sur le système. Les méthodes développées s'appuient sur plusieurs outils d'algèbre différentielle et semi-algébriques permettant de garantir les résultats théoriques. De celles-ci, nous en avons déduit des méthodes numériques pour détecter, discriminer et isoler la ou les fautes. Le quatrième chapitre concerne les réseaux d'oscillateurs et la généralisation d'un résultat de synchronisation ainsi que l'étude de bifurcations de Hopf dans un réseau acyclique direct à partir d'une bifurcation survenant dans un des oscillateurs. Enfin, le dernier chapitre explique comment nous avons construit, en collaboration avec des géographes et de psychologues, des modèles mathématiques décrivant les différents états comportementaux et leurs transitions lors de catastrophes. Il présente ensuite les différentes réflexions et expérimentations (dont une de réalité virtuelle) menées pour valider et exploiter ces modèles.
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tel-03947466 , version 1 (03-03-2023)

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Domaine public

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  • HAL Id : tel-03947466 , version 1

Citer

Nathalie Verdière. Etudes qualitatives et quantitatives de modèles paramétriques. De la théorie à la pratique avec un exemple en sciences humaines.. Mathématiques [math]. Université du Havre (ULH), 2022. ⟨tel-03947466⟩
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